Question

设函数f（x）=lnx+

m

x

，m∈R．
（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；
（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）-

x

3

零点的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，令它大于0，得到增区间，令小于0，得到减区间，从而求出极小值；
（Ⅱ）求出g（x）的表达式，令它为0，则有m=-

1

3

x³+x．设h（x）=-

1

3

x³+x，其定义域为（0，+∞）．则g（x）的零点个数为h（x）与y=m的交点个数，求出单调区间得到最值，画出h（x）的图象，由图象即可得到零点个数．

解答： 解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+

e

x

，其定义域为（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

-

e

x2

=

x-e

x2

                                                      
令f′（x）=0，x=e．f′（x）＞0，则0＜x＜e；f′（x）＜0，则x＞e．
故当x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+

e

e

=2．
（Ⅱ）g（x）=f′（x）-

x

3

=

1

x

-

m

x2

-

x

3

=

3x-3m-x3

3x2

，其定义域为（0，+∞）．
令g（x）=0，得m=-

1

3

x³+x．
设h（x）=-

1

3

x³+x，其定义域为（0，+∞）．则g（x）的零点个数为h（x）与y=m的交点个数．
h′（x）=-x²+1=-（x+1）（x-1）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	递增	极大值	递减

故当x=1时，h（x）取得最大值h（1）=

2

3

．
作出h（x）的图象，
由图象可得，
①当m＞

2

3

时，g（x）无零点；                                               
②当m=

2

3

或m≤0时，g（x）有且仅有1个零点；                              
③当0＜m＜

2

3

时，g（x）有两个零点．

点评：本题考查导数的综合运用：求单调区间和求极值，考查函数的零点问题，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．