Question

若二项式（

1

x

+x²）³展开式中的常数项为k，则直线y=kx与曲线y=x²围成的封闭图形的面积为（　　）

• A、3
• B、

  9

  2

• C、9
• D、

  27

  2

Answer 1

考点：二项式系数的性质,定积分在求面积中的应用

专题：计算题,导数的概念及应用,二项式定理

分析：在二项式的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项为k=3．求出直线y=kx与曲线y=x²围成交点坐标，再利用定积分求得直线y=kx与曲线y=x²围成图形的面积．

解答： 解：设（

1

x

+x²）³的展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 3

•x^r-3•x^2r=

C

r 3

•x^3r-3，
令3r-3=0，r=1，故展开式的常数项为k=3．
则直线y=kx即y=3x，由

y=3x y=x2

，求得直线y=kx与曲线y=x²围成交点坐标为（0，0）、（3，9），
故直线y=kx与曲线y=x²围成图形的面积为

∫

3 0

（3x-x²）dx=（

3

2

x²-

x3

3

）

|

3 0

=

9

2

，
故选：B．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，利用定积分求曲边形的面积，属于基础题．