Question

已知f（x）=xe^x，定义f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N^*．
经计算f₁（x）=（x+1）e^x，f₂（x）（x+2）e^x，f₃（x）=（x+3）e^x，…，照此规律，则f_n（x）=

 

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Answer 1

考点：归纳推理,导数的运算

专题：推理和证明

分析：由已知中f（x）=xe^x，记f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f₁′（x），…f_n+1（x）=f_n′（x）（n∈N^*），分析出f_n（x）解析式随n变化的规律，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=xe^x，
f₁（x）=f′（x）=e^x+xe^x=（x+1）e^x，
f₂（x）=f₁′（x）=2e^x+xe^x=（x+2）e^x，
f₃（x）=f₂′（x）=3e^x+xe^x=（x+3）e^x，
…
由此归纳可得：f_n（x）=f_n-1′（x）=ne^x+xe^x=（x+n）e^x，
故答案为：（x+n）e^x

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．