Question

2．如图所示的几何体ABCDE，EA⊥平面ABC，EA∥DC，AB⊥AC，EA=AB=AC=2DC，M是线段BD上的动点．
（Ⅰ）当M是BD的中点时，求证：BC⊥平面AME；
（Ⅱ）是否存在点M，使得直线BD与平面AMC所成的角为60°，若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立坐标系，求出$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AM}$的坐标，利用数量积证明BC⊥AE，BC⊥AM即可得出结论；
（II）求出平面AMC的法向量$\overrightarrow{n}$，设$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{AD}$，令|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BD}$＞|=sin60°，解出λ即可确定M的位置．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵EA⊥平面ABC，AB⊥AC，
∴直线AB，AC，AE两两垂直，
以A为原点，以AB，AC，AE为坐标轴建立空间直角坐标系A-xyz，设CD=1，则AB=AC=AE=2，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），
∵M是BD中点，∴M（1，1，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AE}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AM}$=（1，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}$=0，
∴AE⊥BC，AM⊥BC，
又AM?平面AME，AE?平面AME，AE∩AM=A，
∴BC⊥平面AME．
（II）$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，1），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），
设$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{BD}$=（-2λ，2λ，λ）（0＜λ＜1），则$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$=（2-2λ，2λ，λ），
设平面AMC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2y=0}\\{（2-2λ）x+2λy+zλ=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，0，2-$\frac{2}{λ}$），
∴cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\frac{2}{λ}}{3×\sqrt{1+（2-\frac{2}{λ}）^{2}}}$=-$\frac{2}{3\sqrt{5{λ}^{2}-8λ+4}}$，
令$\frac{2}{3\sqrt{5{λ}^{2}-8λ+4}}$=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得5λ²-8λ+$\frac{92}{27}$=0，
△=64-4×5×$\frac{92}{27}$＜0，∴方程无解，
∴BD上不存在点M，使得直线BD与平面AMC所成的角为60°．

点评 本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角，以及线面平行的判定和线面垂直的判定、异面直线所成角，同时考查了计算能力，属于中档题．