Question

已知函数y=x²和y=

8

x

的图象都过点A，且点A在直线

x

m

+

y

2n

=1（m＞0，n＞0）上，则log₂m+log₂n的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,对数的运算性质

专题：不等式的解法及应用

分析：联立

y=x2 y= 8 x

解得A（2，4）代入直线

x

m

+

y

2n

=1（m＞0，n＞0），可得

1

m

+

1

n

=

1

2

．利用基本不等式的性质可得mn≥16．再利用对数的运算性质可得log₂m+log₂n=log₂（mn）．

解答： 解：联立

y=x2 y= 8 x

解得

x=2 y=4

，∴A（2，4）代入直线

x

m

+

y

2n

=1（m＞0，n＞0），可得

2

m

+

4

2n

=1，
化为

1

m

+

1

n

=

1

2

．
∴

1

2

≥2

1 m × 1 n

，化为mn≥16．
∴log₂m+log₂n=log₂（mn）≥log₂16=4，
∴log₂m+log₂n的最小值为4．
故答案为：4．

点评：本题考查了曲线的交点、基本不等式的性质、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．