Question

1．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=a+tsinα}\\{y=b+tcosα}\end{array}\right.$（t为参数）
（1）当α=$\frac{π}{3}$时，求直线l的斜率；
（2）若P（a，b）是圆O：x²+y²=4内部一点，l与圆O交于A、B两点，且|PA|，|OP|，|PB|成等比数列，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）根据直线的斜率k=$\frac{cosα}{sinα}$，α=$\frac{π}{3}$时，可求出直线l的斜率；
（2）利用参数的几何意义求解，设A，B两点对应的参数分别为t_A，t_B，把直线l的方程代入圆O的方程中，在根据且|PA|，|OP|，|PB|成等比数列，可得动点P的轨迹方程．

解答 解：（1）当α=$\frac{π}{3}$时，直线l的斜率k=$\frac{cosα}{sinα}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）由题意，设A，B两点对应的参数分别为t_A，t_B，
把直线l的方程代入圆O的方程中，（a+tsinα）²+（b+tcosα）²=4
整理得：t²+（2asinα+2bcosα）t+a²+b²-4=0．
∴t_A•t_B=a²+b²-4=-|PA|•|PB|
又∵|PA|，|OP|，|PB|成等比数列，
∴||OP|²=|PB|•|PA|
∴-（a²+b²-4）=a²+b²即a²+b²=2
∴动点P的轨迹方程为x²+y²=2．

点评 本题考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题