Question

6．如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{4}{3}π$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}π$
• C． $\frac{{5\sqrt{5}}}{6}π$
• D． $\sqrt{6}π$

Answer 1

分析 由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为1，三棱锥的底面为等腰直角三角形，将其扩充为长方体，对角线长为$\sqrt{2+2+1}$=$\sqrt{5}$，三棱锥的外接球的半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可得体积．

解答 解：由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为1，三棱锥的底面为等腰直角三角形，将其扩充为长方体，对角线长为$\sqrt{2+2+1}$=$\sqrt{5}$，三棱锥的外接球的半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，体积为$\frac{4}{3}π$•$\frac{5\sqrt{5}}{8}$=$\frac{5\sqrt{5}}{6}$π，
故选C．

点评 本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体，考查三棱锥与外接球之间的关系，属于中档题．