Question

已知（

x

-

2

x2

）ⁿ（n∈N^*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．
（1）证明：展开式中没有常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中有多少项有理项？（不必一一列出）

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）根据展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1，求得n=8，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出5r=8，且r∈Z，这是不可能的，命题得证．
（2）由二项式系数的性质可得，展开式中的二项式系数最大的项为T₅，再根据通项公式求得结果．
（3）若T_r+1为有理项，当且仅当

8-5r

2

为整数，而0≤r≤8，可得r的值，从而得出结论．

解答： 解：（1）由题意可得，第五项系数为C_n⁴•（-2）⁴，第三项的系数为C_n²•（-2）²，
则

Cn4•(-2)4

Cn2(-2)2

=

10

1

，解得n=8（n=-3舍去）．
故通项公式T_r+1=C₈^r（

x

）^8-r•（-

2

x2

）^r =C₈^r（-2）^r•x

8-5r

2

．
若T_r+1为常数项，当且仅当

8-5r

2

=0，即5r=8，且r∈Z，这是不可能的，所以展开式中没有常数项．
（2）展开式中的二项式系数最大的项为T₅=

C

4 8

•x^-6=1120x^-6．
（3）由T_r+1=C₈^r（-2）^r•x

8-5r

2

，若T_r+1为有理项，
当且仅当

8-5r

2

为整数，而0≤r≤8，故r=0，2，4，6，8，即展开式的有理项有5项．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．