题目内容

如果数列{an}同时满足：（1）各项均为正数，（2）存在常数k，对任意n∈N*，an+12=anan+2+k都成立，那么，这样的数列{an}我们称之为“类等比数列”．由此各项均为正数的等比数列必定是“类等比数列”．问：
（1）若数列{an}为“类等比数列”，且k=（a2-a1）2，求证：a1、a2、a3成等差数列；
（2）若数列{an}为“类等比数列”，且k=0，a2、a4、a5成等差数列，求
a2
a1
的值；
（3）若数列{an}为“类等比数列”，且a1=a，a2=b（a、b为常数），是否存在常数λ，使得an+an+2=λan+1对任意n∈N*都成立？若存在，求出λ；若不存在，说明理由．
考点：类比推理
专题：新定义,推理和证明
分析：（1）由新定义可得，
a
2
n+1
=anan+2+（a2-a1）2，令n=1，注意到a1＞0，化简运用等差数列的定义即可证明；
（2）运用等差数列和等比数列的通项公式和性质，即可求出公比；
（3）可从必要条件入手推出：存在常数λ=
a2+b2-k
ab
，使an+an+2=λan+1，再加以证明，注意根据新定义，推出，当n∈N*都有an+an+2=
a1+a3
a2
an+1，由a1，a2，得到a3，从而得到λ=
a2+b2-k
ab
，结论成立．
解答： （1）证明：当k=(a2-a1)2时，在
a
2
n+1
=anan+2+k中，令n=1得
a
2
2
=a1a3+(a2-a1)2，
即a1a3-2a1a2+
a
2
1
=0．
∵a1＞0，∴a3-2a2+a1=0，即a2-a1=a3-a2•
故a1，a2，a3成等差数列；         
（2）解：当k=0时，
a
2
n+1
=anan+2，
∵数列{an}的各项均为正数∴数列{an}是等比数列，
 设公比为q（q＞0），
∵a2，a4，a5成等差数列，∴a2+a5=2a4，
即a1q+a1q4=2a1q3．∵a1＞0，q＞0，
∴q3-2q2+1=0，（q-1）（q2-q-1）=0，
解得q=1或q=
1±
5
2
（舍去负值）．
∴
a2
a1
=q=1或
a2
a1
=q=
1+
5
2
；
（3）存在常数λ=
a2+b2-k
ab
，使an+an+2=λan+1．
（或从必要条件入手a1+a3=λa2⇒λ=
a1+a3
a2
=
a1+
a22-k
a1
a2
=
a2+b2-k
ab
）
证明如下：∵
a
2
n+1
=anan+2+k，∴
a
2
n
=an-1an+1+k，n≥2，n∈N*，
∴
a
2
n+1
-
a
2
n
=anan+2-an-1an+1，即
a
2
n+1
+an-1an+1=anan+2+
a
2
n
，
由于an＞0，此等式两边同除以anan+1，得
an+an+2
an+1
=
an-1+an+1
an
，
∴
an+an+2
an+1
=
an-1+an+1
an
=…=
a1+a3
a2
，
即当n∈N*都有an+an+2=
a1+a3
a2
an+1，
∴a1=a，a2=b，
a
2
n+1
=anan+2+k，∴a3=
b2-k
a

∴
a1+a3
a2
=
a+
b2-k
a
b
=
a2+b2-k
ab
•
∴对任意n∈N*都有an+an+2=λan+1，
此时λ=
a2+b2-k
ab
．
点评：本题考查新定义及理解和运用，同时考查等差数列和等比数列的定义、通项和性质，正确理解定义是解决此类问题的关键．
练习册系列答案
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π
6
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π
6
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π
12
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6
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m
=（cos
x
2
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n
=（
3
sin
x
2
，cos2
x
2
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m
•
n
+
1
2
．
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π
2
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3
3
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3
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x
-
2
x2
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．

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