Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，的离心率e=

5

5

，以两个焦点F₁，F₂和短轴的两个端点B₁，B₂为顶点的四边形F₁B₁F₂B₂的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点P（4，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若线段AB的中点落在F₁B₁F₂B₂四边形内（含边界），求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意得

c a = 5 5 2bc=4 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线l的方程为y=k（x-4），由

x2 5 + y2 4 =1 y=k(x-4)

，得（5k²+4）x²-40k²x+80k²-20=0，由此利用根的判别式、直线方程的性质，结合已知条件，能求出直线l斜率的取值范围．

解答： 解：（1）由题意得

c a = 5 5 2bc=4 a2=b2+c2

，
解得a=

5

，b=2，c=1，
∴椭圆方程为：

x2

5

+

y2

4

=1．
（2）设直线l的方程为y=k（x-4），
由

x2 5 + y2 4 =1 y=k(x-4)

，得（5k²+4）x²-40k²x+80k²-20=0，
∵直线l与椭圆交于A，B两点，
∴△=1600k⁴-4（5k²+4）（80k²-20）＞0，
解得-

2 11

11

＜k＜

2 11

11

，①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（x₀，y₀），则x1+x2=

40k2

5k2+4

，
∴x0=

20k2

5k2+4

≥0，
∴点M在y轴右侧，
直线B₂F₂方程为y=-2x+2，直线B₁F₂的方程为y=2x-2，
要使点M在四边形内部，（包含边界），
则

y0≤-2x0+2 y0≥2x0-2

，
∴

-16 5k2+4 ≤-2• 20k2 5k2+4 +2 -16k 5k2+4 ≥2• 20k2 5k2+4 -2

，
化简，得

15k2-8k-4≤0 15k2+8k-4≤0

，
解得

4-2 19

15

≤k≤

-4+2 19

15

，②
由①②，得：

4-2 19

15

≤k≤

-4+2 19

15

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．