题目内容
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且acosC+
asinC=b+c，
（1）求角A的值；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．
| 3 |
（1）求角A的值；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理并利用两角和与差的正弦函数公式变形，根据sinC不为0变形后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；
（2）由余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入并利用基本不等式求出bc的最大值，进而确定出三角形面积的最大值．
（2）由余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入并利用基本不等式求出bc的最大值，进而确定出三角形面积的最大值．
解答：
解：（1）已知等式acosC+
asinC=b+c，
利用正弦定理化简得：sinAcosC+
sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，
整理得：
sinAsinC=cosAsinC+sinC，
∵sinC≠0，∴
sinA-cosA=1，即sin（A-
）=
，
∵A∈（0，π），∴A-
∈（-
，
），
∴A-
=
，即A=
；
（2）由余弦定理得：a2=4=b2+c2-2bccos
，即4+bc=b2+c2≥2bc，
∴bc≤4，
∴S△ABC=
bcsinA=
bc≤
，当且仅当b=c=2时取等号，
则△ABC面积的最大值为
．
| 3 |
利用正弦定理化简得：sinAcosC+
| 3 |
整理得：
| 3 |
∵sinC≠0，∴
| 3 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∵A∈（0，π），∴A-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴A-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
（2）由余弦定理得：a2=4=b2+c2-2bccos
| π |
| 3 |
∴bc≤4，
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| 3 |
则△ABC面积的最大值为
| 3 |
点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
在复平面内，复数
（i为虚数单位）对应的点在（ ）
| 3-i |
| 2+i |
| A、第一象限 | B、第二象限 |
| C、第三象限 | D、第四象限 |
△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且5sinA=7sinB，则角A=（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
已知椭圆C：