Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率e=

2 3

3

，过A（a，0），B（0，-b）的直线到原点的距离是

3

2

．求双曲线的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出直线AB的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式可得a，b，进而得到双曲线的方程．

解答： 解：设双曲线的焦距为2c，直线AB的方程为：

x

a

-

y

b

=1，
原点到直线AB的距离d=

ab

a2+b2

=

ab

c

=

3

2

，
又∵

c

a

=

2 3

3

，
∴a=

3

，b=1，
故所求双曲线方程为 

x2

3

-y2=1．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的运用，考查直线方程和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．