Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），F₁，F₂分别为其左右焦点，A₁，A₂分别为其左右顶点，若在该双曲线的右支上存在一点P，使得PF₁与以线段A₁A₂为直径的圆相切于点M，且点M为线段PF₁的中点，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  5

• B、2
• C、

  3

• D、

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用中位线定理，可得OM∥PF₂，|OM|=

1

2

|PF₂|，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理和离心率公式，即可得到．

解答： 解：由于O为F₁F₂的中点，M为线段PF₁的中点，
则由中位线定理可得OM∥PF₂，|OM|=

1

2

|PF₂|，
由PF₁与以线段A₁A₂为直径的圆相切于点M，
则|OM|=a，|PF₂|=2a，
由双曲线的定义可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，
即有|PF₁|=4a，
由OM⊥PF₁，由勾股定理可得a²+（2a）²=c²，
即c²=5a²，
e=

c

a

=

5

．
故选A．

点评：本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查直线和圆相切的条件，以及中位线定理和勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．