Question

证明：ln（n+1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（n∈正整数）．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：构造函数f（x）=ln（1+x）-x，利用导数法可证得ln（1+x）≤x（当x≠0时，ln（1+x）＜x），令x=

1

n

，利用对数函数的运算性质及累加法求和即可证得结论成立．

解答： 证明：构造函数f（x）=ln（1+x）-x，
则f′（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

，
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
所以，当x=0时，f（x）=ln（1+x）-x取得极大值，也是最大值，
所以，f（x）≤f（0）=0，即ln（1+x）≤x，当x≠0时，ln（1+x）＜x．
令x=

1

n

，
则ln（1+

1

n

）=ln（n+1）-lnn＜

1

n

，即

1

n

＞ln（n+1）-lnn，
∴1＞ln2-ln1，

1

2

＞ln3-ln2，
…

1

n-1

＞lnn-ln（n-1）]，

1

n

＞ln（n+1）-lnn，
以上n个不等式相加得：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）-ln1=ln（n+1）（得证）．

点评：本题考查不等式的证明，构造函数f（x）=ln（1+x）-x，利用导数法证得ln（1+x）≤x是关键，也是难点，考查创新思维、化归思想与推理论证能力，属于难题．