Question

2．在平面直角坐标xoy 系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ=2sin2θ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=3+rcosα\\ y=-2+rsinα\end{array}$（α为参数）与曲线C所表示的图形都相切，求r的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用极坐标与直角坐标方程的互化求解即可．
（Ⅱ）消去参数化简普通方程，利用相切，列出方程组求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由ρcosθ=2sin2θ得ρcosθ=4sinθ•cosθ，
∴cosθ=0或ρ=4sinθ，即ρcosθ=0或ρ²=4ρsinθ
所以曲线C的直角坐标方程是：x=0或x²+（y-2）²=4；-------（5分）
（Ⅱ）曲线C₁的普通方程为（x-3）²+（y+2）²=r²，
又与与曲线C都相切，则有$\left\{\begin{array}{l}r=3\\{3}^{2}+（2+2）^{2}=（r+2）^{2}\end{array}\right.$，
所以r=3．-----（10分）

点评 本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与普通方程的互化，考查计算能力．