Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，n≥1．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）通过a₁+a₂+…+a_n=n²a_n与a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1作差、整理可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$（n≥2），进而利用累乘法计算即得结论；
（2）通过（1）利用裂项相消法并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，
∴a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1，
两式相减得：a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$（n≥2），
又∵a₁=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•a₁
=$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{4}$•$\frac{3}{5}$•…•$\frac{n-2}{n}$•$\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$
=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）由（1）可知数列{a_n}的前n项和为：
1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用累乘法及裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．