Question

α，β是方程x²+ax+2b=0的两根，且α∈[0，1]，β∈[1，2]，a，b∈R，则

b-3

a-1

的最大值和最小值分别是

 

和

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：由韦达定理和不等式的性质易得∴a∈[-3，-1]，b∈[0，1]，而

b-3

a-1

表示区域ABCD内的点与E（1，3）连线的斜率，数形结合可得．

解答： 解：∵α，β是方程x²+ax+2b=0的两根，
∴α+β=-a，αβ=2b，
∵α∈[0，1]，β∈[1，2]，
∴α+β∈[1，3]，αβ∈[0，2]，
∴a∈[-3，-1]，b∈[0，1]，
∴点（a，b）表示的区域为矩形ABCD及边界（如图），
而

b-3

a-1

表示区域ABCD内的点与E（1，3）连线的斜率，
由图象可知：当直线经过点A（-1，0）时，直线的斜率最大为

3

2

，
当直线经过点C（-3，1）时，直线的斜率最小为1，
故答案为：

3

2

；1

点评：本题考查选项规划，涉及直线的斜率与不等式的性质，准确作图是解决问题的关键，属中档题．