Question

设a、b是非负实数，且a²+b²=4，则

ab

a+b+2

（　　）

• A、有最大值

  2

  +1
• B、有最小值

  2

  +1
• C、有最大值

  2

  -1
• D、有最小值

  2

  -1

Answer 1

考点：三角函数的最值,圆的参数方程

专题：三角函数的求值

分析：根据a、b是非负实数，且a²+b²=4，想到令a=2cosθ，b=2sinθ，θ∈[0，

π

2

]，转化成三角函数研究最值，遇到sinθ+cosθ与sinθcosθ时，令t=sinθ+cosθ，转化成t的函数研究最值，从而求出所求．

解答： 解：∵a、b是非负实数，且a²+b²=4，
∴令a=2cosθ，b=2sinθ，θ∈[0，

π

2

]，
∴

ab

a+b+2

=

4sinθcosθ

2cosθ+2sinθ+2

=

2sinθcosθ

sinθ+cosθ+1

，
令t=sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

）∈[1，

2

]，则2sinθcosθ=t²-1，
∴

ab

a+b+2

=

2sinθcosθ

sinθ+cosθ+1

=

t2-1

t+1

=t-1，t∈[1，

2

]，
∴t-1有最小值0，最大值

2

-1，即

ab

a+b+2

有最小值0，最大值

2

-1．
故选：C．

点评：本题主要考查了最值，该题利用参数方程进行求解比较方便，同时考查了运算求解的能力和转化的思想和换元的思想，属于中档题．