Question

若函数f（x）=x²-

1

2

lnx+1在其定义域内的一个子区间（a-1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：求f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=2x-

1

2

•

1

x

=

4x2-1

2x

；从而可得

1

2

∈（a-1，a+1）；从而求得．

解答： 解：f（x）=x²-

1

2

lnx+1的定义域为（0，+∞），
f′（x）=2x-

1

2

•

1

x

=

4x2-1

2x

；
∵函数f（x）=x²-

1

2

lnx+1在其定义域内的一个子区间（a-1，a+1）内存在极值，
∴f′（x）=2x-

1

2

•

1

x

=

4x2-1

2x

在区间（a-1，a+1）上有零点，
而f′（x）=2x-

1

2

•

1

x

=

4x2-1

2x

的零点为

1

2

；
故

1

2

∈（a-1，a+1）；
故a-1＜

1

2

＜a+1；
解得，

1

2

＜a＜

3

2

；
又∵a-1≥0，
∴a≥1；
故答案为：[1，

3

2

)．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点的应用，属于中档题．