Question

已知函数f（x）=ax+

1-x

ax

（a＞0）
（1）利用函数单调性的定义，判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）求函数y=f（x）在（0，1]上的最小值g（a）

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）利用定义判断函数f（x）在（0，

1

a

）上是减函数，在（

1

a

，+∞）上是增函数；
（2）由（1）得，讨论a的取值，求出函数y=f（x）在（0，1]上的最小值即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax+

1-x

ax

=ax+

1

ax

-

1

a

（a＞0），
∴任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（ax₁+

1

ax1

-

1

a

）-（ax₂+

1

ax2

-

1

a

）=

(x1-x2)(a2x1x2-1)

ax1x2

；
又∵0＜x₁＜x₂，a＞0；
∴x₁-x₂＜0，
当0＜x₁＜x₂＜

1

a

时，a²x₁x₂-1＜0，∴f（x₁）＞f（x₂），f（x）是减函数；
当

1

a

＜x₁＜x₂时，a²x₁x₂-1＞0，∴f（x₁）＜f（x₂），f（x）是增函数；
∴函数f（x）在（0，

1

a

）上是减函数，在（

1

a

，+∞）上是增函数；
（2）由（1）知，函数f（x）在（0，

1

a

）上是减函数，
在（

1

a

，+∞）上是增函数；
当

1

a

≥1时，即0＜a≤1，函数y=f（x）在（0，1]上的最小值是g（a）=f（1）=a；
当

1

a

＜1时，即a＞1；函数y=f（x）在（0，1]上的最小值是g（a）=f（

1

a

）=2-

1

a

；
综上，函数y=f（x）在（0，1]上的最小值是g（a）=

a，0＜a≤1 2- 1 a ，a＞1

．

点评：本题考查了利用定义判断函数的单调性问题，也考查了利用分类讨论思想求函数的最值问题，是综合性题目．