Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x为有理数}\\{0，x为无理数}\end{array}\right.$，给出下列三个命题：
①函数f（x）为偶函数；
②函数f（x）是周期函数； 
③存在x_i（i=1，2，3），使得（x_i，f（x_i））为顶点的三角形是等边三角形．
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①由偶函数的定义进行判断．
②由周期函数的定义证明
③由解析式做出大致图象：根据图象进行判断即可．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x为有理数}\\{0，x为无理数}\end{array}\right.$，
对于①，定义域为R，x为有理数，-x为有理数，
f（-x）=1=f（x）；
x为无理数，-x为无理数，
f（-x）=0=f（x），
则f（-x）=f（x），x∈R，
则f（x）为偶函数；
对于②，存在非零有理数T，
当x为有理数时，x+T为有理数，
f（x+T）=1=f（x）；
当x为无理数时，x+T为无理数，
f（x+T）=0=f（x）；
则f（x）为周期函数；
对于③，设三个点（x₁，0）（x₂，1）（x₃，0），
且x₁+x₃=2x₂，x₃-x₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，比如x₁=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=1，x₃=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
易满足三点构成三角形是等边三角形，故③正确．
故正确的个数为3．
故选：D．

点评 本题主要考查了特殊函数的性质的理解和运用，考查函数的奇偶性和周期性，属于中档题．