Question

14．求满足下列条件的概率：
（1）若mn都是从集合{1，2，3}中任取的数字，求函数f（x）=x²-4mx+4n²有零点的概率；
（2）若mn都是从区间[1，4]中任取的数字，在区间[0，4]内任取个实数x，y，求事件“x²+y²＞（m-n）²恒成立”的概率．

Answer 1

分析 （1）利用古典概型的概率公式，利用列举法进行求解即可；
（2）利用几何概型的概率公式，求出对应的面积进行求解即可．

解答 解：（1）设函数f（x）有零点为事件A，m，n都是从集合{1，2，3}中任取的数字，依题意得
所有的基本事件为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），其中第一个数表示m的取值，第二个数表示n的取值，即基本事件总数为N=9
若函数f（x）=x²-4mx+4n²有零点则△=16m²-16m²≥0，等价于m≥n
事件A所含的基本事件为（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），
则M=6，P（A）=$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$     
（2）设在区间[0，4]内任取两个实数x，y，“x²+y²＞（m-n）²恒成立”为事件C则事件C等价于“x²+y²＞9”，（x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Ω={（x，y）|0≤x≤4，0≤y≤4，x，y∈R}，
而事件B所构成的区域B={（x，y）|x²+y²＞9，（x，y）∈Ω}．如图所示（阴影部分表示事件C）
S_Ω=4×4=16，S_C=16-$\frac{9π}{4}$，
∴P（C）=$\frac{16-\frac{9π}{4}}{16}$=1-$\frac{9}{64}$π

点评 本题主要考查古典概型和几何概型概率的计算，利用列举法以及转化法是解决本题的关键．