Question

12．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（a，c），$\overrightarrow{n}$=（1-2cosA，2cosC-1），$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$
（Ⅰ）若b=5，求a+c值；
（Ⅱ）若$tan\frac{B}{2}=\frac{1}{2}$，且角A是△ABC中最大内角，求角A的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可求sinA+sinC=2sinB，由正弦定理及已知即可得解．
（Ⅱ）由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可求sinB，cosB的值，可求2sinA+cosA=2，联立sin²A+cos²A=1即可解得cosA的值，结合A是最大角，即可得解A的值．

解答 （本大题满分12分）
解：（Ⅰ）因为：$\overrightarrow m∥\overrightarrow n⇒a（2cosC-1）=c（1-2cosA）$，
所以，2sinAcosC-sinA=sinC-2sinCcosA，
可得：2sinAcosC+2sinCcosA=2sin（A+C）=sinC+sinA，
所以，sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理得2b=a+c=10．….6分
（Ⅱ）$tan\frac{B}{2}=\frac{1}{2}⇒tanB=\frac{4}{3}、sinB=\frac{4}{5}、cosB=\frac{3}{5}$，
又因为sinA+sinC=2sinB=sinA+sin（π-A-B），
则，2sinA+cosA=2，
又sin²A+cos²A=1，
所以，解得$cosA=\frac{3}{5}或cosA=0$，
由于A是最大角，
所以，$A=\frac{π}{2}$．….12分

点评 本题主要考查了平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，倍角公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．