Question

15．已知sinα+cosα=$\frac{1}{5}$．求：
（1）sinα-cosα；
（2）sin³α+cos³α．
（参考公式：a³+b³=（a-b）（a²-ab+b²））

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．

解答 解　（1）由sin α+cos α=$\frac{1}{5}$，得2sin αcos α=-$\frac{24}{25}$，
∴（sin α-cos α）²=1-2sin αcos α=1+$\frac{24}{25}$=$\frac{49}{25}$，∴sin α-cos α=±$\frac{7}{5}$．
（2）sin³α+cos³α=（sin α+cos α）（sin²α-sin αcos α+cos²α）
=（sin α+cos α）（1-sin αcos α），
由（1）知sin αcos α=-$\frac{12}{25}$且sin α+cos α=$\frac{1}{5}$，
∴sin³α+cos³α=$\frac{1}{5}$×$\frac{37}{25}$=$\frac{37}{125}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．