Question

已知△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，M 是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：
①若PM丄平面ABC，且M是AB边中点，则有PA=PB=PC；
②若PC=5，PC丄平面ABC，则△PCM面积的最小值为

15

2

；
③若PB=5，PB⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC的外接球体积为

125 2

6

π；
④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则三棱锥P-ABC的体积为2

23

；
⑤若PA=5，PA⊥平面ABC，则直线MP与平面PBC所成的最大角正切值为

5

3

．
其中正确命题的序号是

 

． （把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：运用三棱锥的棱长的关系，求解线段，面积，体积，把三棱锥镶嵌在长方体中，求解外接圆的半径，运用的思想方法比较灵活，数学几何知识多．

解答： 解：∵△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，
∴PM丄平面ABC，且M是AB边中点，
∴MA=MB=MC
∴Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC，
∴PA=PB=PC，
∴①正确，
∵当PC⊥面ABC，
∴△PCM面积=

1

2

×PC×CM=

1

2

×5×CM
又因为CM作为垂线段最短=

12

5

，
△PCM面积的最小值为

1

2

×5×

12

5

=6，
∴②不正确．
∵若PB=5，PB⊥平面ABC，AB=5，BC=4，AC=3，
∴三棱锥P-ABC的外接球可以看做3，4，5为棱长的长方体，
∴2R=5

2

，R=

5 2

2

，
∴体积为

125 2 π

3

故③不正确．
∵△ABC的外接圆的圆心为O，PO⊥面ABC，
∵P²=PO²+OC²，
r=

3+4-5

2

=1，
OC=

2

，PO²=25-2=23
PO=

23

，

1

3

×

1

2

×3×4×

23

=2

23

，
故④正确
∵若PA=5，PA⊥平面ABC，则直线MP与平面PBC所成的最大角时，M点在A处，
∴Rt△PCA中，tan∠APC=

3

5

，
直线MP与平面PBC所成的最大角正切值为

3

5

，
故⑤不正确．
故答案为：①④

点评：本题考查了空间直线，几何体的性质，位置关系，求解面积，夹角问题，属于难题．