Question

4．已知函数f（x）=sin2ωx-2sin²ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin2ωx-2sin²ωx+1=$\sqrt{2}$sin（2$ωx+\frac{π}{4}$）结合ω＞0，由周期公式即可解得ω的值．
（2）由（1）可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2$ωx+\frac{π}{4}$）由正弦函数的性质来求f（x）的单调递减区间即可．

解答 解：（1）因为$f（x）=sin2ωx-2{sin^2}ωx+1=sin2ωx+cos2ωx=\sqrt{2}sin（2ωx+\frac{π}{4}）$．
所以f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{ω}$．
依题意，$\frac{π}{ω}=π$，解得ω=1；
（2）由（1）知$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$．
函数y=sinx的单调递减区间为$[2kπ+\frac{π}{2}，2kπ+\frac{3π}{2}]（k∈Z）$．
由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，得$kπ+\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{5π}{8}$．
所以f（x）的单调递减区间为$[kπ+\frac{π}{8}，kπ+\frac{5π}{8}]（k∈Z）$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于中档题．