Question

16．已知函数f（x）=x³-ax-1（a∈R）．
（1）若f（x） 的单调减区间为（-1.1），求a的值；
（2）若f（x） 在（-1，1）上是减函数，求实数a的范围；
（3）讨论f（x） 的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到关于a的方程，解出即可；
（2）结合（1），得到关于a的不等式，解出即可；
（3）求导f′（x）=3x²-a，从而讨论a以确定导数的正负，从而确定函数的单调性．

解答 解：（1）解：（1）∵f（x）=x³-ax-1，
∴f′（x）=3x²-a，
令f′（x）＜0，即x²＜$\frac{1}{3}$a，
①当a≤0时，显然不等式x²＜$\frac{1}{3}$a无解；
②当a＞0时，解不等式x²＜$\frac{1}{3}$a，得-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，
∴函数f（x）在区间（-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）上单调递减，
由题可知$\frac{\sqrt{3a}}{3}$=1即a=3；
综上所述，a=3时，f（x）的单调减区间是（-1，1）；
（2）由（1）得：函数f（x）在区间（-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）上单调递减，
若f（x） 在（-1，1）上是减函数，则$\frac{\sqrt{3a}}{3}$≥1，解得：a≥3；
（3）∵f（x）=x³-ax-1，
∴f′（x）=3x²-a，
当a≤0时，f′（x）=3x²-a≥0恒成立，
故函数f（x）=x³-ax-1在R上是增函数，
当a＞0时，由（1）得：
故f（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$），（$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，+∞）上是增函数，
在（-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）上是减函数．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．