Question

9．已知△ABC的两个顶点为A（0，0）、B（6，0），顶点C在曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上运动，则△ABC的重心的轨迹方程是$\frac{9（x-2）^{2}}{16}-{y}^{2}=1$（y≠0）．

Answer 1

分析 设出三角形重心坐标，利用重心坐标公式把C的坐标用重心的坐标表示，代入曲线方程整理得答案．

解答 解：设重心的坐标为（x，y），
而在平面直角坐标系中，重心的坐标是三个顶点的算术平均数，
即$x=\frac{0+6+{x}_{C}}{3}$，$y=\frac{0+0+{y}_{C}}{3}$，
∴x_C=3x-6，y_C=3y，
∵C在曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上运动，
∴$\frac{（3x-6）^{2}}{16}-\frac{（3y）^{2}}{9}=1$，
化简得到$\frac{9（x-2）^{2}}{16}-{y}^{2}=1$（y≠0）．
故答案为：$\frac{9（x-2）^{2}}{16}-{y}^{2}=1$（y≠0）．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查了利用代入法求曲线的轨迹方程，是中档题．