Question

在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠BCD=135°，沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图所示：

（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角B-AD-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）由平面几何知识，不难算出∠ACD=90°，从而AC⊥CD．因为二面角B-AC-D为直二面角，结合CD⊥AC，可得DC⊥平面ABC，得到CD⊥AB，最后根据线面垂直的判定定理，得到AB⊥平面BCD；
（II）设AC的中点为O，连接BO，过O作OE⊥AD于E，可证∠BEO为二面角B-AD-C的平面角，解直角三角形BEO，可求此角的大小，即可得出结论．

解答： （I）证明：∵∠B=90°，∴AB⊥BC．
∵AB=BC，∴∠BCA=∠BAC=45°．（1分）
又平面四边形ABCD中，∠C=135°，
∴∠DCA=90°∴DC⊥AC（2分）
∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，DC?平面ACD，
∴DC⊥平面ABC，∴AB⊥CD（4分）
∵DC∩BC=C，∴AB⊥平面BCD（5分）
∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面PCD．（6分）
（II）解：设AC的中点为O，连接BO，过O作OE⊥AD于E，连接BE．
∵AB=BC，O为AC中点．∴BO⊥AC，（7分）
∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，
BO?平面ABC，∴BO⊥平面ACD．（8分）
∵OE⊥AD，
∴BE⊥AD，∴∠BEO为二面角B-AD-C的平面角．（10分）
在Rt△ABC中，BO=

2

2

，AC=

2

∴在Rt△DCA中，AD=

3

，∴OE=

6

6

．（11分）
∴在Rt△BOE中，tan∠BEO=

BO

OE

=

3

，∴∠BEO=60°（13分）
∴二面角B-AD-C的大小为60°，
∴其余弦值为

1

2

（14分）

点评：证明两个平面垂直，关键在一个面内找到一条直线和另一个平面垂直，利用三垂线定理找出二面角的平面角，解三角形求出此角