题目内容

如图，过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Qn-1Qn，…的长分别为a1，a2，a3，…，an，…，△OP1Q1，△Q1P2Q2，△Q2P3Q3，…，△Qn-1PnQn，…的面积分别为G1，G2，G3，…，Gn，…，数列{an}的前n项的和为Sn．
（1）求a1，a2；
（2）求an，
lim
n→∞
Gn
Sn
；
（3）设bn=aan(a＞0且a≠1)，数列{bn}的前n项和为Tn，对于正整数p，q，r，s，若p＜q＜r＜s，且p+s=q+r，试比较Tp•Ts与Tq•Tr的大小．
考点：数列与解析几何的综合,数列的极限
专题：计算题,综合题,等差数列与等比数列,圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）根据等边三角形的性质，算出点P1(
a1
2
，
3
a1
2
)，代入抛物线求得a1=
2
3
，同样的方法可算出a2=
4
3
；
（2）由点Qn-1（Sn-1，0）建立直线Qn-1Pn的方程，与抛物线方程消去x得关于|y|的方程，解出|y|关于Sn的表示式，根据等边三角形性质和三角函数定义加以计算，化简整理得3
a
2
n
-2an=4Sn-1，用n+1代替n得到3
a
2
n+1
-2an+1=4Sn，将两式作差整理可得{an}是以
2
3
为首项、
2
3
为公差的等差数列，再用等差数列通项算出an的表达式，从而得到Gn、Sn的表达式，最后根据极限的运算性质即可算出
lim
n→∞
Gn
Sn
的值；
（3）由（2）得{bn}是公比q0=a
2
3
≠1，首项b1=a
2
3
的正项等比数列．根据等比数列的求和公式求出Tp、Ts、Tq、Tr的表达式，再将Tp•Ts与Tq•Tr作差并结合正整数p，q，r，s构成成等差数列，结合p＜q＜r＜s化简整理可得Tp•Ts-Tq•Tr=-
q
p
0
(
q
q-p
0
-1)(
q
r-p
0
-1)，讨论其中各个因式的符号可得Tp•Ts-Tq•Tr＜0，可得必定有Tp•Ts＜Tq•Tr对任意成等差数列的正整数p、q、r、s且p＜q＜r＜s都成立，得到答案．
解答： 解：（1）如图，由△OQ1P1是边长为a1的等边三角形，得点P1的坐标为(
a1
2
，
3
a1
2
)，
又∵P1(
a1
2
，
3
a1
2
)在抛物线y2=x上，所以
3
a
2
1
4
=
a1
2
，得a1=
2
3
…（2分）
同理P2(
2
3
+
a2
2
，-
3
a2
2
)在抛物线y2=x上，得a2=
4
3
…（4分）
（2）如图，点Qn-1的坐标为（a1+a2+a3+…+an-1，0），即点（Sn-1，0）（点Q0与原点重合，S0=0），
所以直线Qn-1Pn的方程为y=
3
(x-Sn-1)或y=-
3
(x-Sn-1)，
因此，点Pn的坐标满足
y2=x
|y|=
3
(x-Sn-1)

消去x，得
3
y2-|y|-
3
Sn-1=0，所以|y|=
1+
1+12Sn-1
2
3

又∵|y|=an•sin60°=
3
2
an，∴3an=1+
1+12Sn-1

从而3
a
2
n
-2an=4Sn-1…①…（6分）
由①可得3
a
2
n+1
-2an+1=4Sn…②
②-①，得3(
a
2
n+1
-
a
2
n
)-2(an+1-an)=4an
即（an+1+an）（3an+1-3an-2）=0，又an＞0，于是an+1-an=
2
3

∴{an}是以
2
3
为首项、
2
3
为公差的等差数列，an=a1+(n-1)d=
2
3
n…（8分）
因此，Sn=
(a1+an)n
2
=
1
3
n(n+1)Gn=
3
4
a
2
n
=
3
9
n2，
由此可得
lim
n→∞
Gn
Sn
=
lim
n→∞
3
n2
3n(n+1)
=
3
3
…（10分）
（3）因为
bn+1
bn
=
a
2(n+1)
3
a
2n
3
=a
2
3
，
所以数列{bn}是正项等比数列，且公比q0=a
2
3
≠1，首项b1=a
2
3
=q0，
则Tp=
b1(1-
q
p
0
)
1-q0
，Tq=
b1(1-
q
q
0
)
1-q0
，Tr=
b1(1-
q
r
0
)
1-q0
，Ts=
b1(1-
q
s
0
)
1-q0
…（12分）
Tp•Ts-Tq•Tr=
b
2
1
(1-q0)2
•[(1-
q
p
0
)(1-
q
s
0
)-(1-
q
q
0
)(1-
q
r
0
)]    （注意到
q
p+s
0
=
q
q+r
0
）
=
b
2
1
(1-q0)2
•[(
q
q
0
+
q
r
0
)-(
q
p
0
+
q
s
0
)]…（14分）
而(
q
q
0
+
q
r
0
)-(
q
p
0
+
q
s
0
)=(
q
q
0
-
q
p
0
)-(
q
s
0
-
q
r
0
)
=
q
p
0
(
q
q-p
0
-1)-
q
r
0
(
q
s-r
0
-1)=(
q
q-p
0
-1)(
q
p
0
-
q
r
0
)      （注意到q-p=s-r）
=(
q
q-p
0
-1)
q
p
0
(1-
q
r-p
0
)=-
q
p
0
(
q
q-p
0
-1)(
q
r-p
0
-1)…（16分）
因为a＞0且a≠1，所以q0=a
2
3
＞0且q0≠1
又q-p，r-p均为正整数，所以(
q
q-p
0
-1)与(
q
r-p
0
-1)同号，
故-
q
p
0
(
q
q-p
0
-1)(
q
r-p
0
-1)＜0，所以，Tp•Ts＜Tq•Tr．…（18分）
点评：本题给出抛物线中的等边三角形，求按图中作出的等边三角形Qn-1QnPn的边长an的表达式，并设bn=aan，数列{bn}的前n项和为Tn，在成等差数列的正整数p、q、r、s满足且p＜q＜r＜s的情况下讨论Tp•Ts与Tq•Tr的大小关系．着重考查了抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、不等式的性质和等差等比数列的通项与求和公式等知识，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
设椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）过M（2，
2
），N（
6
，1）两点，O为坐标原点．
（I）求椭圆E的方程；
（II）若直线y=kx+m与椭圆E恒有两个交点A，B，且
OA
⊥
OB
，求实数m的取值范围．
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）
A、
2
+1
2
π+1
B、
2
+1
2
π
C、
2
2
+1
2
π+1
D、
5
6
π+1
直线ρ=
3
2cosθ+sinθ
与直线l关于 直线θ=
n
4
（ρ∈R）对称，则l的极坐标方程是
 
．
设正四面体的四个顶点是A，B，C，D各棱长均为1米，有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条 棱的尽头，则它爬了5米之后恰好再次位于顶点A的概率是
 
（结果用分数表示）．
已知函数f（x）=x3-2x+2有唯一零点，则存在零点的区间是（　　）
A、(-2，-
3
2
)
B、(-
3
2
，-1)
C、(-1，-
1
2
)
D、(-
1
2
，0)
函数f（x）=lg（3+2x-x2）的定义域是（　　）
A、（-∞，-1）∪（3，+∞）
B、（-∞，-3）∪（1，+∞）
C、（-3，1）
D、（-1，3）
已知点P是边长为2的线段AB上任意一点，则PA＞PB的概率为（　　）
A、1
B、
1
3
C、0.5
D、
1
4
袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取一球，颜色为黑色的概率等于
 
．

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