Question

在区间[-4，4]内任取一个元素x₀，若抛物线y=x²在x=x_o处的切线的倾角为α，则α∈[

π

4

，

3π

4

]的概率为

 

．

Answer 1

考点：几何概型,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,概率与统计

分析：由倾斜角α的范围，可以得出曲线的斜率的范围，再由导数的几何意义求出x₀的范围，进而求出x₀所在区间的长度，最后得出答案．

解答： 解：当α∈[

π

4

，

3π

4

]时，切线的斜率k≥1或k≤-1，
又 y′=2x，所以x₀≥

1

2

或x₀≤-

1

2

，
∵x₀∈[-4，4]
∴x₀∈[-4，-

1

2

]∪[

1

2

，4]，
∴点x₀所在区间的长度=2×（4-

1

2

）=7
∴α∈[

π

4

，

3π

4

]的概率为

7

8

故答案为：

7

8

点评：本题考查几何概型，考查学生的计算能力，正确求出x₀满足的区间长度是解题的关键．