Question

已知函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，函数g（x）=xf（x）为偶函数，且g（-1）=0，若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x+1）＞0的解集是

 

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Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，先由g（-1）=0得则f（-1）=0，然后由函数g（x）为偶函数得f（x）为奇函数，利用奇函数的性质得f（1）=0，且函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，再用f（-1）和f（1）代替f（x+1）＞0中的0，分类x+1＞0和x+1＜0，在不同的单调区间上求解．

解答： 解：由g（-1）=0得g（-1）=-f（-1）=0，则f（-1）=0，
又∵函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，函数g（x）=xf（x）为偶函数，
∴g（x）定义域也是{x|x≠0}，且g（-x）=g（x），
∴-xf（-x）=xf（x），
∴f（-x）=-f（x），对x∈{x|x≠0}成立，
∴f（x）为奇函数，
又∵f（-1）=0，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（1）=0，
函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，
∴当x+1＞0即x＞-1时，f（x+1）＞0?f（x+1）＞f（1）⇒x+1＞1⇒x＞0；
当x+1＜0即x＜-1时，f（x+1）＞0?f（x+1）＞f（-1）⇒x+1＞-1⇒x＞-2⇒-2＜x＜-1；
综上，f（x+1）＞0的解集是（-2，-1）∪（0，+∞）．
故答案为：（-2，-1）∪（0，+∞）．

点评：本题的关键是分析条件得到函数f（x）的奇偶性，再综合单调性求解．要求熟练应用函数性质，属于中低档题目．