Question

13．在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BC=2AD，△ABD的面积为2，若$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{EC}$，BE⊥DC，则$\overrightarrow{DA}$$•\overrightarrow{DC}$的值为（　　）

• A． -2
• B． -2$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如图建立平面直角坐标系，设AD=m，则AD=$\frac{4}{m}$，由BE⊥DC，∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CD}=-\frac{4}{3}{m}^{2}+\frac{8}{3m}×\frac{4}{m}=0$，⇒m即可．

解答 解：如图建立平面直角坐标系，设AD=m，则AD=$\frac{4}{m}$，
∴A（0，$\frac{4}{m}$），D（m，$\frac{4}{m}$），C（2m，0）
$\overrightarrow{BC}=（2m，0）$，$\overrightarrow{CD}=（-m，\frac{4}{m}）$，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$=（$\frac{4m}{3}，\frac{8}{3m}$）'
∵BE⊥DC，∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CD}=-\frac{4}{3}{m}^{2}+\frac{8}{3m}×\frac{4}{m}=0$，⇒m=$\sqrt{2}$．
∴$\overrightarrow{DA}=（-\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{DC}=（\sqrt{2}，-2\sqrt{2}）$，
则$\overrightarrow{DA}$$•\overrightarrow{DC}$的值为-$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$+0×$\sqrt{2}$=-2$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了，向量的坐标运算，属于基础题．