题目内容
5．设f（x）=（lnx）ln（1-x）．（1）求函数y=f（x）的图象在（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））处的切线方程；
（2）求函数y=f′（x）的零点．
分析 （1）求出函数的导数，计算f（$\frac{1}{2}$），f′（$\frac{1}{2}$），求出切线方程即可；
（2）令f′（x）=0，即（1-x）ln（1-x）-xlnx=0，令h（x）=（1-x）ln（1-x）-xlnx，（0＜x＜1），根据函数的单调性求出函数的零点即可．
解答 解：（1）f′（x）=$\frac{（1-x）ln（1-x）-xlnx}{x（1-x）}$，
故f（$\frac{1}{2}$）=ln2$\frac{1}{2}$，f′（$\frac{1}{2}$）=0，
故切线方程是：y=ln2$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得，令f′（x）=0，即（1-x）ln（1-x）-xlnx=0，
令h（x）=（1-x）ln（1-x）-xlnx，（0＜x＜1），
则h′（x）=lnx（1-x），h″（x）=$\frac{1-2x}{x（1-x）}$，
令h″（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
令h″（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
故h′（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递减，
故h′（x）＜h′（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{4}$＜0，
故h（x）在（0，1）递减，
而h（$\frac{1}{2}$）=0，
故h（x）在（0，1）的零点是x=$\frac{1}{2}$．
点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
练习册系列答案
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19．“log2（2x-3）＜1”是“$x＞\frac{3}{2}$”的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充分必要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
13．在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BC=2AD，△ABD的面积为2，若$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{EC}$，BE⊥DC，则$\overrightarrow{DA}$$•\overrightarrow{DC}$的值为（ ）
| A． | -2 | B． | -2$\sqrt{2}$ | C． | 2 | D． | 2$\sqrt{2}$ |
如图＜1＞：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E点，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2$\sqrt{3}$，如图＜2＞：若G，H分别为D′B，D′E的中点．
17．某淘宝商城专营店经销某种产品，已知每个月的利润Y（单位：万元）是关于该月的交易量X（单位：件）的一次函数，当X=150时，Y=4，且X每增加100，Y增加2．该店记录了连续12个月的交易量X，整理得如表：
（1）求a的值；
（2）求这12个月的月利润（单位：万元）的平均数；
（3）假定以这12个月记录的各交易量的频率作为各交易量发生的概率，求2017年3月份该产品利润不低于5万元的概率．
| 交易量X（件） | 150 | 180 | 200 | 250 | 320 |
频率 | $\frac{1}{12}$ | $\frac{1}{6}$ | a | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{6}$ |
（2）求这12个月的月利润（单位：万元）的平均数；
（3）假定以这12个月记录的各交易量的频率作为各交易量发生的概率，求2017年3月份该产品利润不低于5万元的概率．