Question

证明函数y=

2

x-1

在区间[2，6]上是减函数并求出它的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论几个步骤，再由单调性即可求出最值．

解答： 证明：设x₁、x₂是区间[2，6]上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(/x1-1)(x2-1)

，
由2≤x₁＜x₂≤6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数y=

2

x-1

是区间[2，6]上的减函数；
因此，函数y=

2

x-1

在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即当x=2时，y_max=2；当x=6时，y_min=

2

5

．

点评：本题考查函数的单调性的证明和运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．