题目内容
将函数y=sinx与函数y=cosx线性组合构成的函数f（x）=msinx+ncosx（m，n是常数）称为“优美函数”．
（Ⅰ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，当m=
dx，n=|1+
i|（i为虚数单位）时，
角A对应的“优美函数”函数值f（A）=2，若a=2，c=
b，求△ABC的面积；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的“优美函数”f（x），若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间[0，
]上总有实数解，求实数k的取值范围．
（Ⅰ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，当m=
| ∫ | e 1 |
| 1 |
| x |
| 2 |
角A对应的“优美函数”函数值f（A）=2，若a=2，c=
| 3 |
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的“优美函数”f（x），若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间[0，
| π |
| 2 |
考点：定积分在求面积中的应用
专题：函数的性质及应用
分析：（Ⅰ）首先求出m，n，得到f（x）解析式并化简，利用f（A）=2求出A，利用余弦定理求出b，c，计算面积；
（Ⅱ）求出f（x）的范围，由关于x的方程f（x）+log2k=0在区间[0，
]上总有实数解得到-log2k的范围．
（Ⅱ）求出f（x）的范围，由关于x的方程f（x）+log2k=0在区间[0，
| π |
| 2 |
解答：
解：（Ⅰ）由题意，m=
dx=
=1，n=|1+
i|=
，
所以f(x)=sinx+
cosx=2sin(x+
)
∴f(A)=2sin(A+
)=2，
∴sin(A+
)=1，
∵0＜A＜π，∴
＜A+
＜
∴A+
=
，
∴A=
，∵cosA=
∴
=
∴b=2，
∴c=2
，
∴S△ABC=
bcsinA=
×2×2
×
=
，
所以，△ABC的面积为
…（6分）
（Ⅱ）∵f(x)=2sin(x+
)，
∵x∈[0，
]，
∴x+
∈[
，
]，
∴sin(x+
)∈[
，1]，
∴f（x）∈[1，2]，
因为关于x的方程f（x）+log2k=0在[0，
]内恒有实数解，即1≤-log2k≤2，
即-2≤log2k≤-1，即
≤k≤
，即k的取值范围为[
，
]…（13分）
| ∫ | e 1 |
| 1 |
| x |
| lnx| | e 1 |
| 2 |
| 3 |
所以f(x)=sinx+
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f(A)=2sin(A+
| π |
| 3 |
∴sin(A+
| π |
| 3 |
∵0＜A＜π，∴
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴A=
| π |
| 6 |
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| ||
| 2 |
| b2+3b2-4 | ||
2
|
∴c=2
| 3 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
所以，△ABC的面积为
| 3 |
（Ⅱ）∵f(x)=2sin(x+
| π |
| 3 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
∴x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
∴sin(x+
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴f（x）∈[1，2]，
因为关于x的方程f（x）+log2k=0在[0，
| π |
| 2 |
即-2≤log2k≤-1，即
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查了定积分、三角函数的化简以及由角的范围求三角函数的范围以及恒成立的问题，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知θ∈（0，
），则
+
的最小值为（ ）
| π |
| 2 |
| 2 |
| sinθ |
| 3 |
| 1-sinθ |
A、5+2
| ||
| B、10 | ||
C、6+2
| ||
D、6+5
|
下列函数中，既是奇函数，又是定义域上单调递减的函数为（ ）
| A、y=x-2 | ||
| B、y=x-1 | ||
C、y=lg
| ||
| D、y=x2 |