Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

1

2

倍，再将所得函数图象向右平移

π

6

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[-

π

2

，

5π

12

]时，求函数y=f（x+

π

12

）-

2

f（x+

π

3

）的最值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由图得到函数的四分之三周期，进一步求得周期，代入周期公式求ω，然后利用五点作图的第二点求得φ，再由f（0）=2求得A的值，则函数解析式可求；
（2）由函数的周期变化和平移变换求得g（x），然后再由简单的复合函数单调性的求法求解g（x）的增区间；
（3）结合（1）中的f（x）的解析式求得y=f（x+

π

12

）-

2

f（x+

π

3

），利用三角恒等变换变形后根据x的范围求最值．

解答： 解：（1）由图可得，

3T

4

=

11π

6

-

π

3

=

3π

2

，
∴T=2π，则ω=

2π

T

=

2π

2π

=1．
由五点作图的第二点知，1×

π

3

+φ=

π

2

，则φ=

π

6

．
∴f（x）=Asin（x+

π

6

），
又f（0）=Asin

π

6

=2，得A=4．
∴f（x）=4sin（x+

π

6

）；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

1

2

倍所得函数解析式
为y=4sin（2x+

π

6

），再将所得函数图象向右平移

π

6

个单位，解析式变为y=4sin[2（x-

π

6

）+

π

6

]，
∴g（x）=4sin（2x-

π

6

）．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z．
∴g（x）的单调递增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z；
（3）y=f（x+

π

12

）-

2

f（x+

π

3

）
=4sin（x+

π

12

+

π

6

）-4

2

sin（x+

π

3

+

π

6

）
=4sin（x+

π

4

）-4

2

cosx
=4sinxcos

π

4

+4cosxsin

π

4

-4

2

cosx
=4sin（x-

π

4

）．
∵x∈[-

π

2

，

5π

12

]，
∴x-

π

4

∈[-

3π

4

，

π

6

]，
∴函数y=f（x+

π

12

）-

2

f（x+

π

3

）的最小值为-4，最大值为2．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）型函数的部分图象求解析式，考查复合函数单调区间的求法，训练了三角函数的图象平移及三角恒等变换，是中档题．