题目内容
如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，若PA=| 5 |
| 10 |
| 2 |
（Ⅰ）求证：△ABC为锐角三角形；
（Ⅱ）求平面EFC与平面ABC所成的角的余弦值．
考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质
专题：空间角
分析：（Ⅰ）利用线面垂直，分别证明∠CAB与∠CBA，∠ACB为锐角，即可证明△ABC为锐角三角形；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出平面EFC与平面ABC所成的角的余弦值
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出平面EFC与平面ABC所成的角的余弦值
解答：
证明：（Ⅰ）过P作PD⊥AB于D，连接CD，
则
，
则PC⊥平面PAB，
又AB?平面PAB，
∴AB⊥PC，
∵PD⊥AB，PC∩PD=P，
即
，
则AB⊥CD，
则∠CAB与∠CBA均为锐角，同理可知∠ACB为锐角
即△ABC为锐角三角形；
（Ⅱ）以P为原点PB、PA、PC分别为x，y，z轴建立坐标系．
则C（0，0，
），A（0，2
，0），B（
，0，0），E（
，0，0），F（0，
，0），
则
=（0，-2
，
），
=（
，-2
，0）
设平面ABC的法向量
=（x，y，z），
则
，即
，令y=1，则x=
，z=
，即
=（
，1，
），
同理求得平面EFC的法向量
=（6，
，
），
两平面的夹角的余弦值cos＜
，
＞=
．
则
|
则PC⊥平面PAB，
又AB?平面PAB，
∴AB⊥PC，
∵PD⊥AB，PC∩PD=P，
即
|
则AB⊥CD，
则∠CAB与∠CBA均为锐角，同理可知∠ACB为锐角
即△ABC为锐角三角形；
（Ⅱ）以P为原点PB、PA、PC分别为x，y，z轴建立坐标系．
则C（0，0，
2
| ||
| 5 |
| 2 |
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 15 |
4
| ||
| 5 |
则
| AC |
| 2 |
2
| ||
| 5 |
| AB |
2
| ||
| 15 |
| 2 |
设平面ABC的法向量
| n |
则
|
|
| 5 |
| 10 |
| n |
| 5 |
| 10 |
同理求得平面EFC的法向量
| m |
| 5 |
| 2 |
两平面的夹角的余弦值cos＜
| m |
| n |
11
| ||
| 28 |
点评：本题主要考查线面垂直的应用，以及二面角的求法，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．
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