Question

已知△ABC内接于单位圆，且（1+tanA）（1+tanB）=2，
（1）求角C
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）变形已知条件可得tanA+tanB=1-tanA•tanB，代入可得tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-1，可得C值；（2）由正弦定理可得c，由余弦定理和基本不等式可得ab得取值范围，进而可得面积的最值．

解答： 解：（1）∵（1+tanA）（1+tanB）=2
∴tanA+tanB=1-tanA•tanB，
∴tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-1，
∴C=

3π

4

（2）∵△ABC得外接圆为单位圆，
∴其半径R=1
由正弦定理可得c=2RsinC=

2

，
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，
代入数据可得2=a²+b²+

2

ab
≥2ab+

2

ab=（2+

2

）ab，
∴ab≤

2

2+ 2

，
∴△ABC得面积S=

1

2

absinC≤

1

2+ 2

•

2

2

=

2 -1

2

，
∴△ABC面积的最大值为：

2 -1

2

点评：本题考查两角和与差得正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，属中档题．