Question

已知数列{a_n}为等比数列．
（1）若a₁+a₂+a₃=21，a₁a₂a₃=216，求a_n；
（2）若a₃a₅=18，a₄a₈=72，求公比q．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等比数列的性质可得a₂³=216，可得a₂=6，结合条件可得a₁+a₃=15．由未定定理可得a₁，a₃是方程x²-15x+36=0的两根，解方程可得a₁的值，可得q，可得所求；（2）由题意可得18q⁴=72，解方程可得．

解答： 解：（1）由等比数列的性质可得a₁a₂a₃=a₂³=216，∴a₂=6，
∴a₁a₃=36且a₁+a₃=21-a₂=15．
∴a₁，a₃是方程x²-15x+36=0的两根，
解方程可得两根为3和12．
当a₁=3时，q=

a2

a1

=2，
∴a_n=3×2^n-1；
同理，当a₁=12时，q=

1

2

，a_n=12•（

1

2

）^n-1=3×2^3-n．
（2）由题意可得a₄a₈=a₃q•a₅q³=a₃a₅q⁴=18q⁴=72，
∴q⁴=4，∴公比q=±

2

．

点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及分类讨论的思想，属中档题．