Question

已知关于x不等式x²-2ax+a+2≤0（a∈R）的解集为M．
（1）当M为空集时，求实数a的取值范围；
（2）如果M⊆[1，4]，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式与二次函数

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由于M为空集，可得△＜0，解出即可；
（2）f（x）=x²-2ax+a+2=（x-a）²-a²+a+2．分类讨论：当M为空集，由（1）可得：a∈（-1，2）．当M不为空集时，由于M⊆[1，4]，可得

f(1)≥0 f(4)≥0 1≤a≤4

   解得a的取值范围．再求其并集即可．

解答： 解：（1）∵M为空集，
∴△=4a²-4（a+2）＜0，即a²-a-2＜0
∴实数a的取值范围为（-1，2）
（2）f（x）=x²-2ax+a+2=（x-a）²-a²+a+2，
①当M为空集，由（1）可得：a∈（-1，2）时，M⊆[1，4]．
②当M不为空集时，
∵M⊆[1，4]
∴

f(1)≥0 f(4)≥0 1≤a≤4

   
即

3-a≥0 18-7a≥0 1≤a≤4

，
解得1≤a≤

18

7

．
∴实数a的取值范围为[1，

18

7

]．
综上得实数a的取值范（-1，

18

7

]．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次不等式的解法、分类讨论方法、集合之间的关系，属于中档题．