Question

已知函数f（x）=sinxcosx-

3

sin²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最小值及取得最小值时对应的x的取值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）逆用二倍角的正弦与余弦及两角和的正弦公式可求得f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，从而可求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，利用正弦函数的单调性与最值即可求得f（x）的最小值及取得最小值时对应的x的取值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx-

3

sin²x
=

1

2

sin2x-

3

•

1-cos2x

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x-

3

2

=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，
∴其最小正周期T=

2π

2

=π；
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得：kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

（k∈Z），
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴当2x+

π

3

=

4π

3

，即x=

π

2

时，f（x）取得最小值-

3

．
即：当x∈[0，

π

2

]时，fx（_min=-

3

，此时x=

π

2

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．