Question

设a，b∈[0，1]，求S=

a

1+b

+

b

1+a

+(1-a)(1-b)的最大值和最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：根据条件将不等式转化为基本不等式的形式，利用基本不等式进行求解即可．

解答： 解  因为S=

a

1+b

+

b

1+a

+(1-a)(1-b)=

1+a+b+a2b2

(1+a)(1+b)

=1-

ab(1-ab)

(1+a)(1+b)

≤1，
当ab=0或ab=1时等号成立，所以S的最大值为1．   
令T=

ab(1-ab)

(1+a)(1+b)

，x=

ab

，则T=

ab(1-ab)

1+a+b+ab

≤

ab(1-ab)

1+2 ab +ab

=

x2(1-x2)

(1+x)2

=

x2(1-x)

1+x

．        
 下证 

x2(1-x)

1+x

≤

5 5 -11

2

．?(x-

5 -1

2

)2(x+

5

-2)≥0，
所以T≤

5 5 -11

2

，
从而S≥

13-5 5

2

，
当a=b=

5 -1

2

时等号成立，
所以S的最小值为

13-5 5

2

．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，考查学生的计算能力，运算量较大，难度较大．