Question

14．设函数$f（x）=ln（x+1）-\frac{ax}{x+1}（a∈R）$．
（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导数，计算f′（0）=0，求出a的值检验即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围判断函数的单调性结合f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求出a的具体范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（-1，+∞），
因为$f（x）=ln（x+1）-\frac{ax}{x+1}（a∈R）$，
所以f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$，
因为f（0）为f（x）的极小值，
所以f′（0）=0，即$\frac{1}{0+1}$-$\frac{a}{{（0+1）}^{2}}$=0，
所以a=1，
此时，f′（x）=$\frac{x}{{（x+1）}^{2}}$，
当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以f（x）在x=0处取得极小值，
所以a=1．                        …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上为单调递增函数，
所以f（x）＞f（0）=0，
所以f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．
因此，当a＜1时，f（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+1}$＞ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$＞0，
f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．
当a＞1时，f′（x）=$\frac{x-（a-1）}{{（x+1）}^{2}}$，
所以，当x∈（0，a-1）时，f′（x）＜0，因为f（x）在[0，a-1）上单调递减，
所以f（a-1）＜f（0）=0，
所以当a＞1时，f（x）＞0并非对x∈（0，+∞）恒成立．
综上，a的最大值为1．            …（13分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．