Question

9．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率e=$\frac{1}{2}$，点$D（0\;，\;\sqrt{3}）$在椭圆E上．
（Ⅰ） 求椭圆E的方程；
（Ⅱ） 设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E于A，B两点，△DAF的面积为S_△DAF，△DBF的面积为S_△DBF，且S_△DAF：S_△DBF=2：1，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用e=$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{3}$，求出a，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程为x=ty+1（t≠0），代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，利用韦达定理，结合S_△DAF：S_△DBF=2：1，求直线AB的方程．

解答 解：（Ⅰ）因为e=$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{3}$，
所以a=2，c=1
所以椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．--------------（4分）
（Ⅱ）设直线AB的方程为x=ty+1（t≠0），代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
整理得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
因为直线AB过椭圆的右焦点，
所以方程有两个不等实根．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=$\frac{-6t}{3{t}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{t}^{2}+4}$，
因为S_△DAF：S_△DBF=2：1，
所以AF=2FB，
所以y₁=-2y₂，
解得t=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴直线AB的方程为x=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y+1---------------------（14分）

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确转化是关键．