Question

5．已知两个函数f（x）=log₄（a$•{2}^{x}-\frac{4}{3}a$）（a≠0），g（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}x$的图象有且只有一个公共点，则实数a的取值范围是{a|a＞1或a=-3}．．

Answer 1

分析 根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，化简得出即可得到结论

解答 g（x）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），
函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即
方程f（x）=g（x）只有一个解
由已知得log₄（4^x+1）$-\frac{1}{2}$x=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），

∴log₄（$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），
方程等价于$\left\{\begin{array}{l}{a•{2}^{x}-\frac{4}{3}a＞0}\\{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}=a•{2}^{x}-\frac{4}{3}a}\end{array}\right.$，
设2^x=t，t＞0，则（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1=0有一解
若a-1＞0，设h（t）=（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1，
∵h（0）=-1＜0，∴恰好有一正解
∴a＞1满足题意
若a-1=0，即a=1时，h（t）=-$\frac{4t}{3}$-1，由h（t）=0，得t=-$\frac{3}{4}$＜0，不满足题意
若a-1＜0，即a＜1时，由△=（-$\frac{4}{3}$）²-4（a-1）×（-1）=0，得a=-3或a=$\frac{3}{4}$，
当a=-3时，t=$\frac{1}{2}$满足题意
当a=$\frac{3}{4}$时，t=-2（舍去）
综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1或a=-3}．
故答案为：{a|a＞1或a=-3}．

点评 本题主要考查函数与方程的运用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强，做难题的意志能力．