Question

3．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a∈R），g（x）=x²-（a+1）x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a≥0时，讨论函数f（x）与g（x）的图象的交点个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调区间即可；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），问题转化为求函数F（x）的零点个数，通过讨论a的范围，求出函数F（x）的单调性，从而判断函数F（x）的零点个数即f（x），g（x）的交点即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=$\frac{{{x^2}-a}}{x}$，
当a≤0时，f'（x）＞0，所以 f（x）的增区间是（0，+∞），无减区间；
当a＞0时，f'（x）=$\frac{{（{x+\sqrt{a}}）（{x-\sqrt{a}}）}}{x}$；
当0＜x＜$\sqrt{a}$时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x＞$\sqrt{a}$时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
综上，当a≤0时，函数f（x）的增区间是（0，+∞），无减区间；
当a＞0时，f（x）的增区间是$（{\sqrt{a}，+∞}）$，减区间是$（{0，\sqrt{a}}）$．
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}+（{a+1}）x-alnx，x＞0$，
问题等价于求函数F（x）的零点个数．
①当a=0时，F（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$+x，x＞0，F（x）有唯一零点；
当a≠0时，F'（x）=-$\frac{{（{x-1}）（{x-a}）}}{x}$．
②当a=1时，F'（x）≤0，当且仅当x=1时取等号，
所以F（x）为减函数．
注意到F（1）=$\frac{3}{2}$＞0，F（4）=-ln4＜0，
所以F（x）在（1，4）内有唯一零点；
③当a＞1时，当0＜x＜1，或x＞a时，F'（x）＜0；
1＜x＜a时，F'（x）＞0．
所以F（x）在（0，1）和（a，+∞）上单调递减，在（1，a）上单调递增．
注意到F（1）=a+$\frac{1}{2}＞0，F（{2a+2}）=-aln（{2a+2}）＜0$，
所以F（x）在（1，2a+2）内有唯一零点；
④当0＜a＜1时，0＜x＜a，或x＞1时，F'（x）＜0；
a＜x＜1时，F'（x）＞0．
所以F（x）在（0，a）和（1，+∞）上单调递减，在（a，1）上单调递增．
注意到F（1）=a+$\frac{1}{2}＞0，F（a）=\frac{a}{2}（{a+2-2lna}）＞0，F（{2a+2}）=-aln（{2a+2}）＜0$，
所以F（x）在（1，2a+2）内有唯一零点．综上，F（x）有唯一零点，
即函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点．

点评 本题考查了函数的单调性、零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．