Question

4．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（θ为参数）$，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）将曲线C₁上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的$\sqrt{3}$、2倍后得到曲线C₂；试写出直线l的直角坐标方程和曲线C₂的参数方程；
（2）在曲线C₂上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析 （1）直线l的直角坐标方程为2x-y-6=0，由于曲线C₂的直角坐标方程为：$（\frac{x}{\sqrt{3}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1，可得曲线C₂的参数
方程．
（Ⅱ）设点P的坐标（$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ），则点P到直线l的距离为：d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-2sinθ-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4sin（60°-θ）-6|}{\sqrt{5}}$，故当sin（60°-θ）=-1时，点P（-$\frac{3}{2}$，1），从而得到d的最大值．

解答 解：（Ⅰ） 由题意知，直线l的直角坐标方程为：2x-y-6=0，
∵曲线C₂的直角坐标方程为：$（\frac{x}{\sqrt{3}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1，
∴曲线C₂的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．…（5分）
（Ⅱ）设点P的坐标（$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ），则点P到直线l的距离为：d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-2sinθ-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4sin（60°-θ）-6|}{\sqrt{5}}$，故当sin60°-θ）=-1时，点P（-$\frac{3}{2}$，1），
此时d_max=2$\sqrt{5}$．…（10分）

点评 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，求出点P的坐标，是解题的难点．