Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*时，点（a_n，S_n）都在函数f（x）=-

1

2

x+

1

2

的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=lg（1-2S_n）+2，求数列{b_n}的前n项和T_n的最大值．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用点在函数的图象上，推出关系式，利用a_n=S_n-S_n-1，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）求出S_n，然后得到b_n=lg（1-2S_n）+2的表达式，判断数列{b_n}是什么数列，即可求解前n项和T_n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）因为点（a_n，S_n）都在函数f(x)=-

1

2

x+

1

2

的图象上．
所以Sn=-

1

2

an+

1

2

，
当n=1时，S1+

1

2

a1=

1

2

，∵S1=a1∴a1=

1

3

，
当n≥2时，Sn-1=-

1

2

an-1+

1

2

，
所以an=Sn-Sn-1=-

1

2

an+

1

2

+

1

2

an-1-

1

2

=-

1

2

an+

1

2

an-1，
∴an=

1

3

an-1，∴{a_n}是公比为

1

3

，首项为

1

3

的等比数列，
∴an=(

1

3

)n；

（Ⅱ） 因为{a_n}是公比为

1

3

，首项为

1

3

的等比数列，
所以Sn=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

(1-

1

3n

)，
∴b_n=lg（1-2S_n）+2=-nlg3+2，
∵b_n+1-b_n=-lg3，
∴数列{b_n}是以-lg3+2为首项，公差为-lg3的等差数列，且单调递减，
由

bn≥0 bn+1＜0

，
所以

-nlg3+2≥0 -(n+1)lg3+2＜0

，即

2

lg3

-1＜n≤

2

lg3

，
因为

2

lg3

=log3100＜log335=5，

2

lg3

-1=log3

100

3

＞log333=3，
∴n=4，
数列{b_n}的前n项和的最大值为T4=

1

2

(-lg3+2-4lg3+2)×4=8-10lg3．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，数列的函数的特征，等差数列以及等比数列的判断，是中档题．