Question

已知直线l：x+y-2=0，两点A（2，0），B（4，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）动点P（x，y）与两点O、A的距离之比为1：

3

，求P点所在的曲线方程；
（Ⅱ）若圆C过点 B，且与直线l相切于点A，求圆C的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（Ⅰ）利用PO：PA=1：

3

，则PA²=3PO²，化简，可得P点所在的曲线方程；
（Ⅱ）设圆C的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²，依题意：圆心（a，b）既在过点A且与直线l垂直的直线上，又在AB的垂直平分线上，即可求出求圆C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）依题意得：PO：PA=1：

3

，则PA²=3PO²，…（2分）
所以（x-2）²+y²=3（x²+y²），…（4分）
即（x-1）²+y²=3，…（6分）
（Ⅱ）设圆C的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²，
依题意：圆心（a，b）既在过点A且与直线l垂直的直线上，又在AB的垂直平分线上，
因为A（2，0），B（4，0），所以AB的垂直平分线方程是：x=3，…（8分）
过点A且与直线l垂直的直线方程是：y=x-2，…（10分）
所以

a-b-2=0 a=3

，解得：a=3，b=1，…（12分）
此时：r=

2

，…（14分）
所以，圆C的方程是：（x-3）²+（y-1）²=2             …（16分）

点评：本题考查求圆C的方程，考查学生的计算能力，确定圆心坐标是关键．